[2017년 백석고]

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[2학년 1학기 기말 확률과 통계]

노란 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 노란 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개가 나올 확률은? [4.2점]

③

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 11over20]	③ [eqn: 3over5]

④ [eqn: 13over20]	⑤ [eqn: 7over10]

주머니 속에 [eqn: 10]개의 구슬이 들어 있고, 그 중 [eqn: n]개가 흰 구슬이다. 이 주머니에서 구슬 [eqn: 3]개를 꺼낼 때, [eqn: 3]개가 모두 흰 구슬일 확률은 [eqn: 7over24]이다. [eqn: n]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행에서 나온 두 눈의 수의 합이 [eqn: 6]보다 작을 때, 이 두 눈의 수의 곱이 [eqn: 5]보다 클 확률은? [4.4점]

①

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 3over10]

④ [eqn: 2over15]	⑤ [eqn: 4over15]

[eqn: 1]학년 남학생 [eqn: 2]명, [eqn: 1]학년 여학생 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 남학생 [eqn: 3]명. [eqn: 2]학년 여학생 [eqn: 1]명이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생을 임의로 일렬로 세울 때, 양쪽 끝에 모두 남학생이 서거나 모두 [eqn: 2]학년 학생이 설 확률은? [4.4점]

③

① [eqn: 9over28]	② [eqn: 11over28]	③ [eqn: 13over28]

④ [eqn: 15over28]	⑤ [eqn: 17over28]

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수가 서로 같으면 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던지고, 나온 눈의 수가 서로 다르면 한 개의 동전을 [eqn: 2]번 던지기로 하였다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 같을 확률은? [4.5점]

②

① [eqn: 5over12]	② [eqn: 7over16]	③ [eqn: 11over24]

④ [eqn: 23over48]	⑤ [eqn: 1over2]

주머니에 검은 공 [eqn: 3]개와 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, 서로 같은 색이면 흰 공 [eqn: 1]개를, 서로 다른 색이면 검은 공 [eqn: 1]개를 꺼낸 [eqn: 2]개의 공과 함께 다시 주머니에 넣는다. 이와 같은 시행 후에는 주머니의 공은 [eqn: 1]개씩 늘어난다. 두 번째 시행 후 흰 공과 검은 공의 개수의 차가 [eqn: 1]일 확률은? (단, 주머니에 넣을 수 있는 공은 충분히 준비되어 있다.) [4.5점]

④

① [eqn: 13over25]	② [eqn: 14over25]	③ [eqn: 16over25]

④ [eqn: 17over25]	⑤ [eqn: 18over25]

문자 [eqn: RMA]가 적혀있는 카드 [eqn: 3]장, 문자 [eqn: RMB]가 적혀있는 카드 [eqn: 2]장, 문자 [eqn: RMC]가 적혀있는 카드 [eqn: 2]장이 있다. 이와 같은 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 세 종류의 카드 [eqn: 7]장을 임의로 일렬로 나열할 때, 적어도 한 종류의 카드는 [eqn: 2]장 이상 연속으로 나열될 확률은? (단, 같은 문자가 적혀있는 카드는 서로 구별하지 않는다.) [4.6점]

①

① [eqn: 86over105]	② [eqn: 82over105]	③ [eqn: 78over105]

④ [eqn: 76over105]	⑤ [eqn: 74over105]

주사위 한 개를 [eqn: n]번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수들 중에서 어느 두 수의 곱도 [eqn: 6]의 배수가 되지 않는 확률을 [eqn: p_n]이라 하자. [eqn: sum_n=2 ^inf p_n]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 5over2]	② [eqn: 5over3]	③ [eqn: 7over2]

④ [eqn: 7over3]	⑤ [eqn: 9over2]

그림과 같이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 숫자가 한 면에만 각각 적혀있는 [eqn: 6]장의 카드가 일렬로 놓여있다. 각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 숫자가 하나씩 적혀있는 정팔면체 모양의 상자를 한 번 던져서 밑면에 적힌 수가 [eqn: 4]의 배수이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 [eqn: 2]장을 뒤집고, 밑면에 적힌 수가 소수이면 가장 작은 숫자가 적혀있는 카드 [eqn: 1]장을 뒤집고, 밑면에 적힌 수가 [eqn: 4]의 배수도 아니고 소수도 아니면 카드를 뒤집지 않는다. [eqn: 4]번째 시행에서 [eqn: 4]가 적혀있는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.) [4.8점]

⑤

① [eqn: 41over256]	② [eqn: 57over256]	③ [eqn: 65over256]

④ [eqn: 71over256]	⑤ [eqn: 75over256]

[eqn: 1]번부터 [eqn: 15]번까지 [eqn: 15]명이 있는 학급에서 특별실 청소를 담당할 학생 [eqn: 4]명을 뽑으려고 한다. 뽑힌 [eqn: 4]명의 학생 중 어느 [eqn: 2]명의 학생도 연속된 번호가 아닐 때, [eqn: 4]명의 학생 중 [eqn: 7]번 학생이 포함되었을 확률은 [eqn: p]이다. [eqn: 495p]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 128]	② [eqn: 149]	③ [eqn: 156]

④ [eqn: 164]	⑤ [eqn: 168]

단답형

서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {RMP}(A `|`B)+{RMP}(B` |`A) = 7over8], [eqn: {RMP}(A smallinter B^c )= 3over32]일 때, [eqn: {RMP}(B)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A^c]은 사건 [eqn: A]의 여사건이다.) [4.0점]

[eqn: 5over8]

주머니 안에 [eqn: 2]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀있는 [eqn: 7]개의 공이 들어있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀있는 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c][eqn: (a<b<c)]라 하자. [eqn: bc overa]가 자연수일 확률을 구하시오. [4.0점]

[eqn: 19over35]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,```3 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { -3,```-2,```-1,```0,```1,```2 RIGHT }]로의 함수 중에서 임의로 택한 한 함수를 [eqn: f(x)]라 하자. 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여 [eqn: i<j]이면 [eqn: f(i) le f(j)]가 성립할 때,
[eqn: f(1)f(2)f(3) ge0]이 성립할 확률을 구하시오. [5.0점]

[eqn: 13over14]

[eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: 4n]까지의 숫자 중에서 [eqn: 4]의 배수가 아닌 수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 3n]개의 공이 주머니에 들어있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자의 평균이 자연수가 될 확률을 [eqn: p_n]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 5.0점]

(1) [eqn: 3over11]

(2) [eqn: 7over27]

(1) [eqn: p_4]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: lim_n->inf p_n]의 값을 구하시오. [3.0점]

다음과 같이 [eqn: 1]번부터 차례대로 숫자가 적혀있는 띠에 [eqn: 1]번부터 색칠을 하려고 한다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이면 색칠되지 않은 작은 숫자가 적혀있는 칸부터 [eqn: 1]칸을, 나머지가 [eqn: 2]이면 [eqn: 2]칸을, [eqn: 3]의 배수이면 [eqn: 3]칸을 색칠한다. 이러한 시행을 [eqn: 4]회 한 후 숫자 [eqn: 8]이 적혀있는 칸이 색칠되었을 때, [eqn: 3]번째 시행 후 숫자 [eqn: 7]이 적혀있는 칸에 색칠되었을 확률을 구하시오. (단, 한 번 칠한 칸에는 다시 칠하지 않는다.) [6.0점]

[eqn: 6over19]

[eqn: 3n]개의 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 3n] 중에서 임의로 [eqn: 1]개를 택하는 시행에서 [eqn: 3]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: A]라 하고, 자연수의 제곱의 수가 나오는 사건을 [eqn: B]라 하자. 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n(A smallinter B)=k]이고 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 [eqn: a_k]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 6.0점]

(1) [eqn: 3]

(2) [eqn: 2over15]

(1) [eqn: a_1]의 값을 구하시오. [3.0점]

(2) [eqn: sum_k=1 ^6 1over{a_k a_k+1}]의 값을 구하시오. [3.0점]

서술형

어느 고등학교에서 전체 학생의 [eqn: 60%]가 안경을 썼고, 안경을 쓴 남학생이 전체 학생의 [eqn: 40%]라고 한다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 남학생일 때, 그 학생이 안경을 쓰지 않았을 확률이 [eqn: 3over11]이다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 안경을 쓰지 않는 학생일 때, 그 학생이 여학생일 확률을 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 5over8]

흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 2]개가 들어있는 주머니가 있다. 한 개의 동전을 던져서 앞면이 나오면 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내고, 뒷면이 나오면 검은 공 [eqn: 1]개를 주머니에 넣은 후 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼낸다. 꺼낸 공이 흰 공일 확률을 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 7over20]

그림과 같은 바둑판이 있다. 주사위 한 개를 던질 때마다 다음 규칙에 따라 바둑돌을 이동시킨다.

다음 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(가) [eqn: 3] 이하의 눈이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1]칸,

위쪽으로 [eqn: 1]칸 이동한다.

(나) [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]의 눈이 나오면 왼쪽으로 [eqn: 1]칸,

위쪽으로 [eqn: 1]칸 이동한다.

(다) [eqn: 6]의 눈이 나오면 아래쪽으로 [eqn: 1]칸 이동한다.

(1) [eqn: { 35} over {324 }]

(2) [eqn: {6} over {35}]

(1) 한 개의 주사위를 [eqn: 8]번 던져서 [eqn: RMA]지점에 있는 바둑돌이

[eqn: RMC]지점으로 이동하게 될 확률을 구하시오. [3.0점]

(2) 한 개의 주사위를 [eqn: 8]번 던져서 [eqn: RMA]지점에 있는 바둑돌이

[eqn: RMC]지점으로 이동하게 될 때, 이동 중 [eqn: RMB]지점에 있었을

확률을 구하시오. [4.0점]

놀부는 생일잔치에 모인 사람들 앞에서 동생 흥부에게 다음과 같이 약속하였다.

각각의 항아리에 흰 콩과 검은 콩을 각각 적어도 [eqn: 1]개의 콩을 포함하여 흰 콩 [eqn: 4]개, 검은 콩 [eqn: 5]개를 항아리 [eqn: 3]개에 남김없이 나누어 넣는 모든 경우에 대하여 흰 콩을 뽑는 확률을 구하고, 흥부가 음식을 얻기 위하여 세 항아리에 콩을 어떻게 나누어 넣는 것이 가장 확률이 높은지 설명하시오. [7.0점]

“여기에 똑같은 항아리 [eqn: 3]개, 흰 콩 [eqn: 4]개, 검은 콩 [eqn: 5]개가 있다. 네 마음대로 콩을 항아리에 남김없이 나누어 넣어라. 다만, 각각의 항아리에 흰 콩과 검은 콩을 각각 적어도 [eqn: 1]개의 콩을 넣어야 한다. 다 나누어 넣고 나면 네 눈을 가리고 항아리의 위치를 바꾸겠다. 너는 세 항아리 중 하나를 골라 그 항아리에서 콩 [eqn: 1]개를 꺼내라. 만일 그 콩이 흰 콩이면 너희 식구가 배부르게 먹을 수 있는 음식을 주겠다. 그러나 그 콩이 검은 콩이라면 아무것도 주지 않겠다.”

[eqn: 12over17]

[2017년 백석고]

[2학년 1학기 기말 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com